UNIDAD II

UNIDAD II: Problemas de relaciones con una variable

Justificación:

En esta unidad resolveremos problemas de relaciones entre variables o características de objetos o situaciones que pueden estar presentes en los enunciados de los problemas.

Una relación es un nexo entre dos o más características correspondientes a la misma variable, del análisis de estos nexos surge el tipo de relación y de este la estrategia particular de representación a utilizar para comprender el problema.

Existen ciertos tipos de nexos que determinan clases especiales de problemas los cuales pueden agruparse y resolverse mediante estrategias particulares.

En esta unidad se presentan relaciones especiales de diferentes tipos: intercambio, parte-todo, causa-efecto, orden, pertenencia, equivalencia, familiares, etc.

Objetivos:

1.      Centrar su atención en el enunciado del problema y entre las relaciones de sus datos.

2.      Identificar el tipo de relación presente en el enunciado de un problema.

3.      Analizar los diferentes tipos de relaciones presentes en el enunciado de un problema y determinar la estrategia más apropiada para enfocar su solución de acuerdo al tipo de relación.

4.      Establecer relaciones entre las variables, sus valores y los datos de los problemas.

5.      Valorar la utilidad del uso de estrategias en la solución de problemas.

LECCIÓN 1: Problemas de relaciones de parte-todo y familiares

Problemas de relaciones de parte-todo

 En este tipo de problemas unimos un conjunto de partes conocidas para formar diferentes cantidades y para generar ciertos equilibrios entre las partes. Son problemas donde se relacionan partes para formar una totalidad deseada.

Ejemplo: El precio de venta de un objeto es $700. Este precio resulta de sumar su valor inicial, una ganancia igual a la mitad de su valor y unos gastos de manejo de 25% de su valor. ¿Cuánto es el valor inicial del objeto?

¿Qué hacemos en primer lugar?

Identificamos variables

¿Qué datos se dan?

El precio de venta, gastos de manejo, ganancia

¿De qué variable estamos hablando?

El valor inicial

¿Qué se dice acerca del precio de venta del objeto?

Que al valor inicial se le aumentaron los gastos de manejo y la ganancia.

¿Qué se pide?

Encontrar el valor inicial.

Representación del enunciado del problema:

Valor inicial=?

Ganancia= Valor inicial/2

Gastos de manejo0= 25%

¿Qué se extrae del problema?

Se extrae el valor inicial y la ganancia.

¿Qué se concluye?

Los valores de ganancia, gastos de manejo y el valor inicial.

¿Cuánto es el valor inicial del objeto?

El valor inicial del objeto es $ 350.

EJERCICIO 1: La medida de las tres secciones de un lagarto; cabeza, tronco y cola, son las siguientes: la cabeza mide 9 centímetros, la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del tronco, y el tronco mide la suma de la cabeza y de la cola. ¿Cuántos centímetros mide en total el lagarto?

¿Cómo se describe el lagarto?

Se dice que consta de 3 partes.

¿Qué datos da el enunciado del problema?

La medida de la cabeza: 9cm

Cola: cabeza + tronco/2

Tronco: cabeza + cola

¿Qué significa que la cola mide tanto como la cabeza más la mitad del cuerpo?

Significa que es igual a la cabeza más la mitad del tronco.

Escribe esto en palabras y símbolos:

Cabeza + tronco/2 que reemplazando nos quedaría 9 + t/2

¿Y qué se dice del cuerpo?

Se dice que es igual a la cabeza más la cola.

Vamos a representar o escribir estos datos en palabras y en símbolos:

Medida del tronco = medida cabeza + medida cola.

Medida del tronco = 9cm + medida de la cola.

Si colocamos lo que mide la cola obtenemos:

Medida del tronco = 9cm + 9cm + mitad de la medida de la cuerpo.

Medida del tronco = 18cm + mitad de la medida de la cuerpo.

Esto lo podemos representar en un esquema para visualizar las relaciones:

¿Qué observamos en el esquema? ¿Cuánto mide el tronco en total?

El tronco mide 36cm

Entonces. ¿Cuánto mide en total el lagarto? Para contestar esto completa el esquema que sigue.

¿Qué estrategias particulares utilizamos para comprender y resolver el problema?

·         Identificamos en el dibujo las partes del lagarto y las medidas respectivas.

·         Representemos las cantidades en el esquema.

Problemas sobre relaciones familiares

Las relaciones familiares, por sus diferentes niveles, constituyen un medio útil para desarrollar habilidades de pensamiento de alto nivel de abstracción y es esta la razón por la cual se incluye un tema en la lección que nos ocupa.

Ejemplo: ¿Qué es de mí el hijo de la hermana del único primo del hijo del hermano de mi primo, si mi nombre es José?

¿Qué se plantea en el problema?

¿Qué es de mí (José) el hijo de mi hermana del hijo del hermano de mi padre?

¿Qué relaciones se podemos establecer entre estos personajes?

La representación del problema sería:

¿Qué relación existe entre ambas personas?

Existe una relación de sobrino-tío.

Respuesta del problema:

 Por lo tanto, la persona pedida es mi sobrino.

¿Qué hicimos en este ejercicio?

Buscamos el vínculo familiar.

PRÁCTICA 1: ¿Cuántos abuelos y abuelas tuvieron en total mis bisabuelitos?

Resolución: Recordemos que una persona en total tiene 4 abuelos en total (entre varones y mujeres)

Ahora debemos saber, cuántos bisabuelos en total tengo:

Entonces, número de abuelos de mis bisabuelos entre mujeres y varones = 8 x 4

Respuesta: Por lo tanto el total de abuelos de mis bisabuelos entre hombres y mujeres es 32.

LECCIÓN 2: Problemas sobre relaciones de orden

Representación en una dimensión: Es una estrategia que nos permite representar datos correspondientes a una sola variable o aspecto.

Ejemplo: en el trayecto para ir a las escuela que recorren David, Johana, Karen y Leonel. David camina 40 m. más  que Karen, Leonel camina 10 m. más que David pero menos que Johana. ¿Quién vive más lejos y quien vive más cerca?

Variable: Distancia

Pregunta: ¿Quién vive más lejos y quien vive más cerca?

Representación:

Respuesta: Karen vive más cerca y Johana más lejos.

Estrategia de postergación

Consiste en dejar para más tarde aquellos datos que parezcan incompletos, hasta tanto se presente otro dato que complemente la información y nos permita procesarlos.

Ejemplo: Ramírez y Peña son más jóvenes que Sandoval. Gutiérrez  es menor que Peña pero mayor que Ramírez. ¿Quién es  el más joven y quien le sigue en edad?

Resolución: primero leemos el problema, luego identificamos variables que sería la edad de las personas que es una variable cuantitativa, posteriormente vemos relaciones de orden y vamos representado.

La primera relación de orden establece” Ramírez y Peña son más jóvenes que Sandoval”. Colocamos a Sandoval. Sin embargo, no podemos ubicar a Ramírez y Peña. Solo sabemos que son más jóvenes, es decir van a la izquierda de Sandoval.

Luego leemos la próxima relación: Gutiérrez es menor que peña pero mayor que Ramírez. De menor a mayor están ubicadas en el orden siguiente: Ramírez, Gutiérrez y Peña.

Ramírez y Peña son menores que Sandoval; así que los tres deben ubicarse a la izquierda de Sandoval. 

PRÁCTICA 1: Daniela tiene 20 años, pero es menor para Jennifer, Leonela nació 5 años antes que Jennifer, Andrea nació 23 años después que Daniela y Pedro tiene 15 años más que la edad de Leonela. ¿Quién es el menor y el mayor de todos?

Variable: edad

Representación: